tag:blogger.com,1999:blog-13748944040428308502024-03-08T05:15:55.652-08:00สาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์สาระการเรียนรู้สังคมศึกษา ศาสนา และวัฒนธรรมhttp://www.blogger.com/profile/10180218527846612495noreply@blogger.comBlogger2125tag:blogger.com,1999:blog-1374894404042830850.post-62167026162001288762012-05-30T05:56:00.002-07:002012-05-30T05:56:09.856-07:00ลิมิตและความต่อเนื่องของฟังก์ชัน (1) <b>ลิมิตและความต่อเนื่องของฟังก์ชัน
(1)</b>
<br />
<div align="right">
<a href="http://www.thaigoodview.com/library/teachershow/yala/ampornpan/calculus/1-limit-1.htm" onclick="window.print();return false"><span style="font-size: x-small;">Print</span><img align="absmiddle" alt="Print Document" border="0" height="17" src="http://www.thaigoodview.com/library/teachershow/yala/ampornpan/calculus/print.gif" width="25" /></a></div>
<b> ลิมิตของฟังก์ชัน</b><span style="color: blue;"><b> </b></span><b> </b><br />
<b> y = f(x) ที่มีโดเมนและเรนจ์เป็นสับเซต<br />ของจำนวนจริง
ขณะที่ x เข้าใกล้<br />
จำนวนจริงใด ๆ เพียงจำนวนเดียวเท่านั้น <br /> </b>ความหมายของการที่ x
เข้าใกล้จำนวนจริง
a ใด ๆ ดังรูป<br /> x <img namo_eqn__="" src="http://www.thaigoodview.com/library/teachershow/yala/ampornpan/calculus/limit_htm_eqn1.gif" /><!--NAMO_EQN__ 160 1
\to
--> <img alt="aniblue08_next.gif" border="0" height="18" src="http://www.thaigoodview.com/library/teachershow/yala/ampornpan/calculus/aniblue08_next.gif" width="18" /> a <img alt="aniblue08_back_1.gif" border="0" height="18" src="http://www.thaigoodview.com/library/teachershow/yala/ampornpan/calculus/aniblue08_back_1.gif" width="18" /><b> <img namo_eqn__="" src="http://www.thaigoodview.com/library/teachershow/yala/ampornpan/calculus/limit_htm_eqn2.gif" /><!--NAMO_EQN__ 160 1
\gets
--> x</b> <br />
<b><img alt="aniyellow05_next.gif" border="0" height="26" src="http://www.thaigoodview.com/library/teachershow/yala/ampornpan/calculus/aniyellow05_next.gif" width="26" /></b> เมื่อ x เข้า
ใกล้ a
โดยที่ x < a หมายความว่า x เข้าใกล้ a ทางด้านซ้าย <br /> เขียนแทน
ด้วยสัญลักษณ์ x <img namo_eqn__="" src="http://www.thaigoodview.com/library/teachershow/yala/ampornpan/calculus/limit_htm_eqn3.gif" /><!--NAMO_EQN__ 160 1
\to
--> a <img namo_eqn__="" src="http://www.thaigoodview.com/library/teachershow/yala/ampornpan/calculus/limit_htm_eqn4.gif" /><!--NAMO_EQN__ 160 1
^{-}
--> ฟังก์ชัน f ใด ๆ ที่มีโดเมนและเรนจ์เป็นสับเซต<br />ของเซตจำนวนจริง
เมื่อ x เข้าใกล้ a ทางด้านซ้าย
แล้ว f(x) เข้าใกล้จำนวนจริง <img namo_eqn__="" src="http://www.thaigoodview.com/library/teachershow/yala/ampornpan/calculus/limit_htm_eqn5.gif" /><!--NAMO_EQN__ 160 1
L_{1}
--> <br /> เรียก <img namo_eqn__="" src="http://www.thaigoodview.com/library/teachershow/yala/ampornpan/calculus/limit_htm_eqn6.gif" /><!--NAMO_EQN__ 160 1
L_{1}
--> ว่า ลิมิตซ้ายของ f ที่ a เขียนแทนได้ว่า
<img namo_eqn__="" src="http://www.thaigoodview.com/library/teachershow/yala/ampornpan/calculus/limit_htm_eqn7.gif" /><!--NAMO_EQN__ 160 1
\lim _{x\to a^{-}}
--> f(x) = <img namo_eqn__="" src="http://www.thaigoodview.com/library/teachershow/yala/ampornpan/calculus/limit_htm_eqn8.gif" /><!--NAMO_EQN__ 160 1
L_{1}
--> <br />
<br />
<b> <img alt="aniyellow05_back.gif" border="0" height="26" src="http://www.thaigoodview.com/library/teachershow/yala/ampornpan/calculus/aniyellow05_back.gif" width="26" /> </b>เมื่อ
x เข้าใกล้ a โดยที่ x> a หมายความว่า x เข้าใกล้ a ทางด้านขวา <br /> เขียน
แทนด้วยสัญลักษณ์ x<img namo_eqn__="" src="http://www.thaigoodview.com/library/teachershow/yala/ampornpan/calculus/limit_htm_eqn9.gif" /><!--NAMO_EQN__ 160 1
\to
--> a <img namo_eqn__="" src="http://www.thaigoodview.com/library/teachershow/yala/ampornpan/calculus/limit_htm_eqn10.gif" /><!--NAMO_EQN__ 160 1
^{+}
--> ฟังก์ชัน f ใด
ๆ ที่มีโดเมนและเรนจ์เป็นสับเซต<br />ของเซตจำนวนจริง เมื่อ x เข้าใกล้
a ทางด้านขวา แล้ว f(x) เข้าใกล้จำนวนจริง <img namo_eqn__="" src="http://www.thaigoodview.com/library/teachershow/yala/ampornpan/calculus/limit_htm_eqn11.gif" /><!--NAMO_EQN__ 160 1
L_{2}
--><br /> เรียก <img namo_eqn__="" src="http://www.thaigoodview.com/library/teachershow/yala/ampornpan/calculus/limit_htm_eqn12.gif" /><!--NAMO_EQN__ 160 1
L_{2}
--> ว่า ลิมิตซ้ายของ f ที่ a เขียนแทนได้ว่า
<img namo_eqn__="" src="http://www.thaigoodview.com/library/teachershow/yala/ampornpan/calculus/limit_htm_eqn13.gif" /><!--NAMO_EQN__ 160 1
\lim _{x\to a^{+}}
-->f(x) = <img namo_eqn__="" src="http://www.thaigoodview.com/library/teachershow/yala/ampornpan/calculus/limit_htm_eqn14.gif" /><!--NAMO_EQN__ 160 1
L_{2}
--> <br />
<br />
<div align="left">
<b> <img alt="anigreen08_next.gif" border="0" height="20" src="http://www.thaigoodview.com/library/teachershow/yala/ampornpan/calculus/anigreen08_next.gif" width="20" /> เมื่อ x
เข้าใกล้
a ไม่ว่าจะทางด้านซ้ายหรือด้านขวา แล้ว <br /> ค่าของ
f(x)เข้าใกล้จำนวนจริง L
เขียนแทนได้ว่า
<img namo_eqn__="" src="http://www.thaigoodview.com/library/teachershow/yala/ampornpan/calculus/images/1-limit-1_htm_eqn1.gif" /><!--NAMO_EQN__ 160 1
\lim _{x\to a}
--> f(x) = L <img alt="anigreen08_back.gif" border="0" height="20" src="http://www.thaigoodview.com/library/teachershow/yala/ampornpan/calculus/anigreen08_back.gif" width="20" /> </b>
</div>
<hr />
<img alt="anired06_next.gif" border="0" height="12" src="http://www.thaigoodview.com/library/teachershow/yala/ampornpan/calculus/anired06_next.gif" width="15" /> <b>ลิมิตข้าง
เดียว (One - side
limit) <img alt="anired06_back.gif" border="0" height="12" src="http://www.thaigoodview.com/library/teachershow/yala/ampornpan/calculus/anired06_back.gif" width="15" /> </b> <br />
<img border="0" height="205" src="http://www.thaigoodview.com/library/teachershow/yala/ampornpan/calculus/limside1_1.gif" width="236" /><br />
พิจารณาจากรูป <br />
<b><img alt="anired06_back.gif" border="0" height="12" src="http://www.thaigoodview.com/library/teachershow/yala/ampornpan/calculus/anired06_back.gif" width="15" /></b> <img namo_eqn__="" src="http://www.thaigoodview.com/library/teachershow/yala/ampornpan/calculus/limit_htm_eqn16.gif" /><!--NAMO_EQN__ 160 1
\lim _{x\to 1^{+}}f(x)
--> = <img namo_eqn__="" src="http://www.thaigoodview.com/library/teachershow/yala/ampornpan/calculus/limit_htm_eqn17.gif" /><!--NAMO_EQN__ 160 1
\lim _{x\to 1^{+}}(-3)
--> ..........(1) <br />
<img alt="anired06_next.gif" border="0" height="12" src="http://www.thaigoodview.com/library/teachershow/yala/ampornpan/calculus/anired06_next.gif" width="15" /> <img namo_eqn__="" src="http://www.thaigoodview.com/library/teachershow/yala/ampornpan/calculus/limit_htm_eqn18.gif" /><!--NAMO_EQN__ 160 1
\lim _{x\to 1^{-}}f(x)
--> = <img namo_eqn__="" src="http://www.thaigoodview.com/library/teachershow/yala/ampornpan/calculus/limit_htm_eqn19.gif" /><!--NAMO_EQN__ 160 1
\lim _{x\to 1^{-}}(2)
--> ..........(2)<br />
(1)
<img namo_eqn__="" src="http://www.thaigoodview.com/library/teachershow/yala/ampornpan/calculus/limit_htm_eqn20.gif" /><!--NAMO_EQN__ 160 1
\neq
--> (2) นั่นคือ<br />
<img namo_eqn__="" src="http://www.thaigoodview.com/library/teachershow/yala/ampornpan/calculus/limit_htm_eqn21.gif" /><!--NAMO_EQN__ 160 1
\lim _{x\to 1^{+}}f(x)
--> <img namo_eqn__="" src="http://www.thaigoodview.com/library/teachershow/yala/ampornpan/calculus/limit_htm_eqn22.gif" /><!--NAMO_EQN__ 160 1
\neq
--> <img namo_eqn__="" src="http://www.thaigoodview.com/library/teachershow/yala/ampornpan/calculus/limit_htm_eqn23.gif" /><!--NAMO_EQN__ 160 1
\lim _{x\to 1^{-}}f(x)
--> <br />
ดังนั้น
<img namo_eqn__="" src="http://www.thaigoodview.com/library/teachershow/yala/ampornpan/calculus/limit_htm_eqn24.gif" /><!--NAMO_EQN__ 160 1
\lim _{x\to 1}f(x)
--> หาค่าลิมิตไม่ได้<br />
<div align="left">
<b> . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .</b></div>
<div align="left">
<b> พิจารณาจากรูป
</b> <img border="0" height="187" src="http://www.thaigoodview.com/library/teachershow/yala/ampornpan/calculus/limside2.gif" width="224" /> </div>
<b><img alt="anired06_back.gif" border="0" height="12" src="http://www.thaigoodview.com/library/teachershow/yala/ampornpan/calculus/anired06_back.gif" width="15" /></b> <img namo_eqn__="" src="http://www.thaigoodview.com/library/teachershow/yala/ampornpan/calculus/limit_htm_eqn25.gif" /><!--NAMO_EQN__ 160 1
\lim _{x\to 4^{+}}g(x)
--> = <img namo_eqn__="" src="http://www.thaigoodview.com/library/teachershow/yala/ampornpan/calculus/limit_htm_eqn26.gif" /><!--NAMO_EQN__ 160 1
\lim _{x\to 4^{+}}(x-6)
--> <br />
<div align="left">
=
4 - 6 =
- 2 ...........(1) </div>
<img alt="anired06_next.gif" border="0" height="12" src="http://www.thaigoodview.com/library/teachershow/yala/ampornpan/calculus/anired06_next.gif" width="15" /> <img namo_eqn__="" src="http://www.thaigoodview.com/library/teachershow/yala/ampornpan/calculus/limit_htm_eqn27.gif" /><!--NAMO_EQN__ 160 1
\lim _{x\to 4^{-}}g(x)
--> = <img namo_eqn__="" src="http://www.thaigoodview.com/library/teachershow/yala/ampornpan/calculus/limit_htm_eqn28.gif" /><!--NAMO_EQN__ 160 1
\lim _{x\to 4^{-}}(4-x)
--> <br />
=
4 - 4 =
0 .............(2)<br />
(1) <img namo_eqn__="" src="http://www.thaigoodview.com/library/teachershow/yala/ampornpan/calculus/limit_htm_eqn29.gif" /><!--NAMO_EQN__ 160 1
\neq
--> (2) นั่นคือ<br />
<img namo_eqn__="" src="http://www.thaigoodview.com/library/teachershow/yala/ampornpan/calculus/limit_htm_eqn30.gif" /><!--NAMO_EQN__ 160 1
\lim _{x\to 4^{+}}g(x)
--> <img namo_eqn__="" src="http://www.thaigoodview.com/library/teachershow/yala/ampornpan/calculus/limit_htm_eqn31.gif" /><!--NAMO_EQN__ 160 1
\neq
--> <img namo_eqn__="" src="http://www.thaigoodview.com/library/teachershow/yala/ampornpan/calculus/limit_htm_eqn32.gif" /><!--NAMO_EQN__ 160 1
\lim _{x\to 4^{-}}g(x)
--> <br />
ดังนั้น <img namo_eqn__="" src="http://www.thaigoodview.com/library/teachershow/yala/ampornpan/calculus/limit_htm_eqn33.gif" /><!--NAMO_EQN__ 160 1
\lim _{x\to 4}g(x)
--> หาค่าลิมิตไม่ได้<br />
<div align="left">
.<b>.. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
.. . . . . . . . . . . . . . . . . . </b> <img border="0" height="198" src="http://www.thaigoodview.com/library/teachershow/yala/ampornpan/calculus/limside3.gif" width="236" /> </div>
<b>พิจารณาจากรูป </b><br />
<b><img alt="anired06_back.gif" border="0" height="12" src="http://www.thaigoodview.com/library/teachershow/yala/ampornpan/calculus/anired06_back.gif" width="15" /></b> <img namo_eqn__="" src="http://www.thaigoodview.com/library/teachershow/yala/ampornpan/calculus/limit_htm_eqn34.gif" /><!--NAMO_EQN__ 160 1
\lim _{x\to 3^{+}}h(x)
--> = <img namo_eqn__="" src="http://www.thaigoodview.com/library/teachershow/yala/ampornpan/calculus/limit_htm_eqn35.gif" /><!--NAMO_EQN__ 160 1
\lim _{x\to 3^{+}}(10-x)
--> <br />
=
10 - 3 =
7 .....(1) <br />
<img alt="anired06_next.gif" border="0" height="12" src="http://www.thaigoodview.com/library/teachershow/yala/ampornpan/calculus/anired06_next.gif" width="15" /> <img namo_eqn__="" src="http://www.thaigoodview.com/library/teachershow/yala/ampornpan/calculus/limit_htm_eqn36.gif" /><!--NAMO_EQN__ 160 1
\lim _{x\to 3^{-}}h(x)
--> = <img namo_eqn__="" src="http://www.thaigoodview.com/library/teachershow/yala/ampornpan/calculus/limit_htm_eqn37.gif" /><!--NAMO_EQN__ 160 1
\lim _{x\to 3^{-}}(2x+1)
--> <br />
=
2(3) + 1 =
7 .......(2)<br />
(1)
= (2) นั่นคือ<br />
<img namo_eqn__="" src="http://www.thaigoodview.com/library/teachershow/yala/ampornpan/calculus/limit_htm_eqn38.gif" /><!--NAMO_EQN__ 160 1
\lim _{x\to 3^{+}}h(x)
--> = <img namo_eqn__="" src="http://www.thaigoodview.com/library/teachershow/yala/ampornpan/calculus/limit_htm_eqn39.gif" /><!--NAMO_EQN__ 160 1
\lim _{x\to 3^{-}}h(x)
--> <br />
ดังนั้น
<img namo_eqn__="" src="http://www.thaigoodview.com/library/teachershow/yala/ampornpan/calculus/limit_htm_eqn40.gif" /><!--NAMO_EQN__ 160 1
\lim _{x\to 3}h(x)
--> = 7สาระการเรียนรู้สังคมศึกษา ศาสนา และวัฒนธรรมhttp://www.blogger.com/profile/10180218527846612495noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-1374894404042830850.post-53952828983466352032012-05-30T05:53:00.000-07:002012-05-30T05:53:05.477-07:00ประวัติแคลคูลัส<div id="layer1" style="height: 48px; left: 245px; position: absolute; top: 18px; width: 263px; z-index: 1;">
<span style="color: #ffcc33; font-size: large;"><b>ประวัติ แคลคูลัส Calculus</b></span><br />
</div>
<span style="font-size: medium;"> แคลคูลัส
เป็นวิชาคณิตศาสตร์ที่มีความสำคัญอย่างยิ่ง
สามารถนำไปประยุกต์ใช้ในการอธิบายกฎเกณฑ์<br />ธรรมชาติ
เป็นพื้นฐานของความเข้าใจโลก และปรากฎการณ์ต่าง ๆ
แคลคูลัสช่วยให้เราสามารถคำนวณวงโคจร<br />ของดาวต่าง
ๆ ช่วยให้เราคำนวณกระแสน้ำ การคำนวณหาเส้นแรงในอาคารรูปแปลก ๆ
เพื่อให้สามารถสร้างอาคาร<br />เหล่านั้น
เป็นวิชาที่จำเป็นสำหรับนักวิทยาศาสตร์แทบทุกแขนง</span><br />
<span style="font-size: medium;"> ผู้ที่เกิดแนวคิดเรื่องแคลคูลัสก่อนผู้ใด
เมื่อราว ปี 1667 เซอร์ ไอแสค นิวตัน นักฟิสิกส์ชาวอังกฤษ
<br />สนใจในเรื่องคณิตศาสตร์ของการเคลื่อนที่ ซึ่งมีการเปลี่ยนแปลงตลอดเวลา
กฎเกณฑ์ของการเปลี่ยนแปลงนี้เอง <br />ทำให้เป็นที่มาของแคลคูลัส
ในเรื่องของอินทิกรัลและดิฟเฟอเรนเชียล
ต่อมาไม่นานก็มีนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน<br />ชื่อ กอตฟริค ไลปนิช
ก็เกิดแนวติดในทำนองเดียวกัน ทั้งสองคนเขียนจดหมายแลกเปลี่ยนทัศนะ
และแนวคิดกัน </span><br />
<span style="font-size: medium;">
แคลคูลัสเป็นคณิตศาสตร์ที่ถือกำเนิดขึ้นในศตวรรษที่ 17
แต่ถ้าไล่ย้อนไปในอดีต
ก็จะพบแนวความคิด<br />หรือเทคนิคต่าง
ๆที่นักคณิตศาสตร์สมัยก่อนหน้านั้นได้ช่วยคิดช่วยสร้างมาตั้งแต่สมัยกรี
กโบราณโน่น ซึ่งมีรายละเอียด<br />มาก
พอจะสรุปหลัก ๆ ที่สำคัญ
ดังนี้
</span><br />
<span style="font-size: medium;"> นักคณิตศาสตร์สมัยโบราณหลายคน เช่น
อาร์คิมีดิส เคยคิดวิธีหาเส้นสัมผัสรูปร่างเกลียวหอย
<br />โจทย์ข้อนี้สำคัญมาก เพราะน่าจะเป็นโจทย์เกี่ยวกับ เส้นสัมผัสหรือ
“ดิฟเฟอเรนเชียลแคลคูลัส” เพียงข้อเดียวใน<br />ประวัติศาสตร์
ส่วนที่เหลือ เช่น การคำนวนหาพื้นที่วงกลม ปริมาตร
และพื้นผิวของทรงกลมได้อย่างไร ซึ่งจาก<br />มุมมองสมัยนี้
เป็นโจทย์เกี่ยวกับผลรวม หรือ “อินทิกรัลแคลคูลัส” ทั้งสิ้น</span><br />
<span style="font-size: medium;"> นอกจากนี้ นักคณิตศาสตร์ชาวกรีก
ได้ตั้งโจทย์เกี่ยวกับ ลิมิต และค่าอนันอีกด้วย แต่ที่น่าจะสำคัญ<br />ที่
สุดคือ
เทคนิคทางคณิตศาสตร์ที่เรียกว่า "วิธีใช้ทั้งหมดของยูโดซัส"
ซึ่งมีหลักการง่าย ๆว่า ถ้าต้องการคำนวณ<br />หาพื้นที่รูปทรงประหลาดๆ
ที่สนใจก็แบ่งพื้นที่ให้เป็นรูปง่าย
ๆ เช่น รูป 3 เหลี่ยม 4 เหลี่ยม โดยเริ่มจากการใช้รูป<br />ง่าย
ๆ ใส่ลงไปในพื้นที่ที่ต้องการหาและซอยย่อยลงไปเรื่อย ๆ
ดังนั้นผลรวมก็จะได้ใกล้เคียงกับพื้นที่ที่ต้องการ </span><br />
<span style="font-size: medium;"> นี่คือเทคนิคการอินทิเกรต โดยใช้ภาพ
ของนักคณิตศาสตร์กรีกโบราณนั่นเอง
นักคณิตศาสตร์ชาวเอเชีย<br />ก็มีผู้คิด"ปฐมแคลคูลัส"ไว้คือ
คนจีนกับคนญี่ปุ่น
นักคณิตศาสตร์ญี่ปุ่นคำนวนหาพื้นที่วงกลม โดยแบ่งเป็นแถบ<br /> 4
เหลี่ยมย่อย
ๆ</span><br />
<span style="font-size: medium;"> จวบจนถึงคริต์ศตวรรษที่ 14
จึงมีคำถามประเภทว่า วัตถุเคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็วไม่คงที่ จะหาระยะทาง<br />ที่
วิ่งไปได้อย่างไร
แต่แคลคูลัสสมัยใหม่ต้องรอเวลานานกว่าจะถือกำเนิดขึ้นได้
เพราะแคลคูลัส จำเป็นต้องใช้แนวคิด<br />จากคณิตศาสตร์สาขาอื่น
ๆ หลายวิชานำมาก่อน เช่น ฟังก์ชั่น พีชคณิตสัญลักษณ์
และเรขาคณิตวิเคราะห์</span><br />
<span style="font-size: medium;"> แนวคิดเรื่องฟังก์ชันนี้มาสุกงอม
ตอนที่กาลิเลโอมาศึกษาเรื่องการเคลื่อนที่ ส่วนสองเรื่องหลังคือ
พีชคณิต<br />สัญลักษณ์ และเรขาคณิตวิเคราะห์
เป็นฝีมือของเดอคาร์ตส์ยอดนักคณิตศาสตร์ที่คิดแกนอ้างอิงแบบคาร์ทีเชียน<br />
ให้เราใช้กันจนถึงเดี๋ยวนี้นี่เอง
</span>สาระการเรียนรู้สังคมศึกษา ศาสนา และวัฒนธรรมhttp://www.blogger.com/profile/10180218527846612495noreply@blogger.com0